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一、引言

本文利用混沌理论和方法．对我国上海证券市场1990年-2008年间的股价波动的混沌特征进行了分析．并提出了降低混沌度和股市系统风险的方法。

二、混沌理论以及最大李雅谱诺夫指数和关联维数算法

1．混沌理论简介。“混沌”这一概念最早是由美国数学家J．A-York和美籍华人学者李天岩于1975年提出来的。尽管目前“混沌”没有公认的普遍定义．但一般认为“混沌”是“确定性系统中的内在随机性．并具有对初始条件的敏感依赖性”。混沌系统是个确定性的、非线性系统。当一个系统产生混沌现象时，其未来行为具有对系统初始条件的敏感依赖性，初始条件的细微变化，将会导致截然不同的长期未来行为，因而，本质上是不可长期预测的，但是混沌并非混乱，混沌中隐含着秩序，遵循着普适性规律。对系统是否具有混沌特征的判断，主要是通过两个指标：最大李雅普诺夫指数和吸引子的分数维。李雅普诺夫指数描述了系统轨道演化过程的特性．度量了系统对于初始条件的敏感性。分形维由曼德勃罗提出，它用来度量几何物体的特征．分形维可以用来判断混沌系统的分形结构。计算分形维有许多种方法，其中相关维是最常用的一种方法。正的最大李雅普诺夫指数和吸引子的分数维是混沌的两个特征，也是目前学术界认为的判断系统是否具有混沌特征的主要依据。

2．Lyapunov指数及其算法。在动力系统中．混沌虽然具有精确的含义，但却意味着对系统的状态进行长期预测是不可能的。这是由于在初始状态的微小不确定将会迅速地按指数速度扩大。预测能力的迅速丧失是因为系统有这样的特性．那些初始状态比较接近的轨道总体上会指数发散。在非混沌系统中，相互靠近的轨迹要么指数地迅速收敛，要么慢于指数速度地发散（最坏的情况），至少，在理论上，长期预测是可能的。这种轨迹收敛或发散的比率，称为李雅普诺夫指数。它在混沌的研究中非常重要。正的李雅普诺夫指数意是近似刻画产生时间序列fx(n))，的复杂系统复杂程度的某种维数。具体来说,d=l~logCm(r)/logr。

P．Grassberger和I．Procaccia证明了当嵌入维数大于分形维数时，所求的分形维不因嵌入维数的增加而增加，也就是说．当嵌入维数很大时，所求出的分形维应该是不变的。实际计算选取的嵌入维数在3到10之间。

三、对上海证券市场的实证分析

我们依据上述算法，我们对上海证券交易所综合指数日收盘值的对数收益率求最大的李雅普诺夫指数和分形维数。我们选取从1990年12月19日-2008年5月20日的日度数据作为分析的基础．然后计算对数收益率得样本时间序列X(n)，n=l，2，…，4 273。此数据存于EXCEL表格中。我们编写了Matlab语言程序，对李亚普诺夫指数的计算结果如表2。

随着嵌入维数的升高，李雅普诺夫指数的变化越来越小，最后大致趋于0.016。正的最大李雅普诺夫指数说明上海证券市场存在混沌现象的可能。而且最大李雅普诺夫指数表示了对系统演化的预测能力衰减速率。上海证券市场系统李雅普诺夫指数最终收敛到0.016,它表示将以平均0.016比特／日的速率对系统的演化失去预测能力．也就是说，假设给定今天股价，则在1/0.016=62个交易日后价格参数及其变化形式对系统会失去全部的预测能力。

对分形维数的计算结果如表3。

从表3中我们可以看出，随着嵌入维数的增加．所求出的维数逐渐稳定在2.67左右。因此可以认为上海证券市场日收益率序列的混沌吸引子的分形维数大概为2.67。这说明，决定山海证券市场这一复杂系统的本质因素只有3个，也就是说只需要3个变量就完全决定系统的趋势。

四、结论

我们通过相空间重构技术和Wolf算法计算出了上海证券市场收益率时间序列的最大Lyapunov指数为0.016，关联维数为2.67．从而证明上海证券市场为非线性的混沌系统。混沌系统的最大特征就是对初始条件的敏感性，也就是我们说的“蝴蝶效应”。就对证券市场而言，一个很小的异动就很有可能导致很大的波动。我们股票市场自建立以来经历了多次大波动。混沌系统对初始值表现为“失之毫厘，差之千里”的敏感性正好回答了这个问题。

当前由美国次贷危机引发的金融危机正在席卷全球．不仅对很多国家的金融体系造成很大的冲击，而且还将进一步影响到各个国家的实体经济。这就促使我们不得不透过金融危机发生的显性原因和现象去看清楚金融体系的本质特征．从而使我们能根源上去改善和改进金融体系的运行机制以及应对金融危机。