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| 数学哲学与计算机科学的能动作用 | |||||
收集整理：佚名 来源：本站整理 时间：2012-06-29 22:00:28 点击数：[]  |
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第一章 前 言
数学哲学作为哲学的一个分支，研究数学中的哲学问题的学科。从毕达哥拉斯到康德的众多思想家都有许多数学哲学的重要思想，但作为专门学科直到19世纪中叶以后才逐渐建立起来。着重研究：数学的对象、性质、特点、地位与作用；数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义；著名数学家和数学流派的数学和哲学思想；数学方法和数学基础等问题。而现代数学哲学的研究内容包括：数学基础的研究，形成罗素的逻辑主义、布劳维的直觉主义和希尔伯特的形式主义等流派；数学悖论的研究，探讨悖论的排除及彻底解决的可能性；数学本体论的研究，探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存在；数学真理性的研究等。
计算机科学是研究计算机及其周围各种现象和规律的科学，亦即研究计算机系统结构、程序系统（即软件）、人工智能以及计算本身的性质和问题的学科。计算机是一种进行算术和逻辑运算的机器，而且对于由若干台计算机联成的系统而言还有通信问题,并且处理的对象都是信息,因而也可以说，计算机科学是研究信息处理的科学。计算机科学分为理论计算机科学和实验计算机科学两个部分。计算机科学的大部分研究是基于“冯•诺依曼计算机”和“图灵机”的，它们是绝大多数实际机器的计算模型。作为此模型的开山鼻祖，邱奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）表明，尽管在计算的时间，空间效率上可能有所差异，现有的各种计算设备在计算的能力上是等同的。尽管这个理论通常被认为是计算机科学的基础，可是科学家也研究其它种类的机器，如在实际层面上的并行计算机和在理论层面上概率计算机、oracle 计算机和量子计算机。在这个意义上来讲，计算机只是一种计算的工具：著名的计算机科学家 Dijkstra 有一句名言“计算机科学之关注于计算机并不甚于天文学之关注于望远镜。”计算机科学根植于电子工程、数学和语言学，是科学、工程和艺术的结晶。它在20世纪最后的三十年间兴起成为一门独立的学科，并发展出自己的方法与术语。
数学哲学在20世纪中期与计算机科学（包括人工智能）产生了重要的相互作用，而且这两个领域都由这种相互影响得益匪浅。能动作用代表了知识与概念发展的一个普遍模式。能动作用主要包括以下四个特征：(1)在两个先前被认为是互不相关的领域之间可能发现某些出乎意料的联系；(2)这两者都由这种联系，或者更精确地说，由这种相互作用，得益匪浅；(3)这并非是静态的、而是一种能动的关系，特别是，先前处于次要地位的领域可能转而占据主导的地位，反之亦然；(4)在保持相互联系的同时，对立双方又都应当保持一定的相对独立性，这事实上也就是主次地位发生变化的一个必要条件。因此数学哲学与计算机科学之间的相互作用可以看做是能动作用的一个例子。
事实上，计算机科学的一些奠基者，即如冯•诺意曼(Von Neumann)和图林(A.Turing)等，先前都曾直接从事数学哲学（基础）的研究，而且，在二次世界大战后的一些年中，计算机科学家们更不断由数学哲学中吸取了一些十分重要的思想，后者并在以后的人工智能研究中得到了进一步的应用。数学哲学（数学基础研究）的概念和理论在计算机科学的历史发展中发挥了十分重要的作用，其中模糊数学从数学手段上武装了电子计算机, 使电子计算机能够在相当程度上模拟人脑的模糊思维。在以精确数学和二值逻辑为基础上建立起来的一般电子计算机, 尽管在运算速度、记忆能力等方面超过人脑, 在确定性环境中能作出人脑难以快速作出的判断。但是, 在模糊环境中, 电子计算机不具备象人脑那样灵活处理模糊事物的应变能力, 甚至连一个婴儿的大脑都不如。这无疑是电子计算机进一步向“ 智能” 化方向发展的巨大障碍。为了克服这一致命的弱点, 就要把人的自然语言即人们生活中所使用语言能够作为算法语言编入程序, 让计算机能够描述和处理事物的模糊性, 进行模糊判断和决策。即必须建立起相应的能够描述和处理模糊的量及其关系的数学方法。模糊数学正是在这个直接背景下产生的。它就是要从数学手段上武装电子计算机, 使机器能够仿效人脑模糊识别与判决的特点, 提高其处理模糊事件的水平。随着建立在模糊数学理论基础上人工智能技术的发展, 人工智能机将能更好地模拟人脑的思维活动。也就是说, 它将不仅能够模拟那些相当精确的逻辑思维活动也将有可能成功地模拟人脑那些带有极大模糊性的形象思维活动及若干心理活动。通过这样的实践, 将会使人们认识到逻辑思维、形象思维与精确和模糊之间更深刻的联系和更具体的关系。其认识论意义实在是不可低估的。
数学哲学与计算机科学的主次关系现在也已发展到了一个转折点，即计算机科学现正反过来对数学哲学的现代研究发挥着实质性的影响。然而，计算机科学的现代发展，特别是所谓的“机器证明”，则又对数学哲学的研究提出了新的问题，并在一定程度上影响了数学哲学的现代发展。而分析清楚两者之间关系这就是本文论述背景与意义。
2.1 数学思想对计算机科学发展的影响
研究数学思想对于计算机科学发展的影响是很有意义的。E. Pascal 为了帮助他父亲完成计算任务, 研制出了第一台计算机——加法机。 他的数学思想和计算机工作影响了Leibniz。Leibniz 做出了第一台能做加减乘除四则运算的计算机。他对逻辑、数学、计算机三者的认识都出于他的思维机器化的理想。为了达到这个目的, 他要建立思维演算和建立起一个普遍的符号语言。建立这种语言的思想, 可以看作今天数理逻辑中所用的形式语言和现代程序语言诉渊源。 Babbage 是第一个研制自动计算机的数学家。他的计算机除了“程序内存”这一特点外, 具备了现代计算机的主要特点, 即用程序控制的自动计算机。与Babbage合作的是数学家Ada ,她是现代计算机程序设计的始祖。她的程序设计思想在当时达到了很高的水平。 Babbage的设计思想于其死后七十年在 H. Aiken 研制的 Mk .1. 计算机上得到了初步实现, 六年后在 J. P. Eckert 等人研制的世界上第一台电子计算机 ENIAC 上得到了比较充分的实现。Babbage 之后, J. von Neumann 和 AM . Turing 是计算机发展史上建立了第一座最伟大丰碑的两个数学家。von Neumann 设计制作的 EDVAC 是世界上第一台程序内存的自动计算机。他的设计思想称为“von Neumann 设计思想”这种机器的程序设计,可称为 von Neumann 程序设计” 这种设计的本质特点是程序内存。由于有了程序内存,使计算机具备了“思维”性质的功能, 开辟了人工智能的科学研究方向, 开始了信息时代。而程序内存计算机的基本概念的首创人并不是 von Neumann , 而是 Turing , von Neumann 的贡献只是将 Turing 的基本思想做了高度创造性的发展工作 Turing 的计算机概念发表于他的经典性论文《论可计算数及其对判定问题的应用》那时他的兴趣在数理逻辑方面,Leibni
2.3基础数学在计算机科学的应用
计算机科学是一门包含各种各样与计算和信息处理相关主题的系统学科，从抽象的算法分析、形式化语法等等，到更具体的主题如编程语言、程序设计、软件和硬件等。而离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。因此离散数学在计算机科学中有着广泛的应用。
2.3.1 数理逻辑在计算机科学中的应用
数字逻辑作为计算机科学的一个重要理论在很大程度上起源于离散数学的数理逻辑中的命题与逻辑演算，其在计算机硬件设计中的应用更为突出。利用命题中各关联词的运算规律把由高低电平表示的各信号之间的运算与二进制数之间的运算联系起来，使得我们可以用与非门或者用或非门来解决电路设计问题，使得整个设计过程变得更加直观，更加系统化。数理逻辑在程序设计中起到化简的作用，当一个程序初稿拿出来以后，如果我们想分析一下其中是否有冗余存在，这时就用到了离散数学中命题演算的基本等式。
2.3.2 笛卡尔积在计算机科学中的应用
数据库技术被广泛应用于社会各个领域，关系数据库已经成为数据库的主流，离散数学中的笛卡儿积是一个纯数学理论是研究关系数据库的一种重要方法，显示出不可替代的作用。不仅为其提供了理论和方法上的支持,更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。关系数据模型建立在严格的集合代数的基础上，其数据的逻辑结构是一个由行和列组成的二维表来描述关系数据模型。在研究实体集中的域和域之间的可能关系、表结构的确定与设计、关系操作的数据查询和维护功能的实现、关系分解的无损连接性分析、连接依赖等问题都用到笛卡儿积的理论。
2.3.3 代数系统组合数学和布尔代数在计算机科学中的应用
代数系统是用代数的方法构造数学模型对程序理论、数据结构、形式语言、自动机、数据安 全、编码理论、语义学研究及逻辑 电路设计等分支学科具有重要的理论与实际意义。利用布尔代数理论研究开关电路从而建立起一门完整的数字逻辑理论。组合数学主要是研究事物在给定条件下的配置问题。该配置是否存在？所有可能配置的计数和分类以及在某种限制下的最佳配置,组合分析的方法等，对计算机科学的发展起了重要作用。作为计算机设计基础的数字逻辑就是布尔代数，对计算机的逻辑设计起了很大作用。
2.3.4 图论在计算机科学中的应用
图论可应用于各种各样的领域，诸如信息论、控制论、网络理论等。在计算机科学领域中，图论对开关理论与逻辑设计、人工智能、形式语言、计算机制图、操作系统、编译程序的编写以及信息的组织与检索起重要作用，其平面图、树的研究对集成电路的布线、网络线路的铺设、网络信息流量的分析等的实用价值显而易见。
有了图论做理论基础，才可以在程序编译中用树来表示源程序语法结构，产生了自顶向下和自下向上这两种不同的语法分析树；也正因为有了图论，在数据库系统中，才可以用树来组织信息，从而把各信息结点间的复杂关系用一种清晰直观的方式表达出来；同样，图论在操作系统中也得到了充分应用，最典型的例子是可以用图论中的回路来判断并发进程中是否存在递归和死锁现象，可以把一项本来很复杂的工作通过判断一个有向图中是否存在回路来加以解决，大大提高
了工作效率。
2.3.5 形式语言和自动机在计算机科学中的应用
自动机是描述计算的数学模型,用来识别语言或计算函数。形式文法也是一种数学模型，用来产生形式语言。计算机使用的程序没语言就是一种形式语言形式语言和自动机理论密切相关，对计算机科学的实践和理论有深刻的影响和广泛的应用。
《离散数学》作为一个单独的分枝，在世界上出现的时间并不久，但它的内容中有相当一部分却早已出现在数学中。为什么将各个数学分支中的一些内容集中起来加以研究，并且冠上一个新的名称离散数学呢？这主要是因为计算机科学的产生和发展。同时计算机也引起数学中离散化倾向的增长,推动了研究离散结构的数理逻辑、图论、组合理论、代数系统
如果说源自数学哲学的概念和理论曾对计算机科学的发展产生了十分重要的影响；那么数学哲学与计算机科学的主次关系现在似乎也已发展到了一个转折点，即计算机科学现正反过来对数学哲学的现代研究发挥着实质性的影响。
3.1 计算机对数学分支发展的贡献
模糊数学的诞生和电子计算机的发展密切相关。计算机科学是模糊数学诞生的摇篮。电子计算机发展的一个重要方向是模拟人脑的思维, 以便能够应付和处理复杂多变的环境。维纳说：“人具有运用模糊概念的能力。”人的思维活动是在逻辑思维、形象思维和灵感思维的综合作用下进行的。 而形象思维和灵感思维本身就具有很大的模糊性, 正是这种模糊性, 才使得人的大脑灵活地进行思维。传统数学无法描述和处理事物的模糊性, 也就无法真实地反映人脑的思维活动, 以传统数学及二值逻辑为基础的计算机也就不具备人脑那样灵活处理事物模糊性的能力。这对计算机智能的发展无疑是一个极大的障碍。为了让计算机能够描述和处理事物的模糊性, 就必须建立起相应的能够描述和处理模糊的量及其关系的数学方法，模糊数学便由此诞生。
3.2 计算机对一些古老学科的贡献
计算机产生以前，一些古老的数学分支因缺乏应用被视为是数学家的游戏，但是计算机的广泛应用使这些分支获得了新生。例如计算机的介入，尤其是密码技术（“公开密匙”系统）的广泛关注，使古老的数论得到了新生；与计算机发展的相结合使古老的组合数学获得了新的生机。早期的组合数学常常被当成“益智游戏”出现在一些小说中，但是随着计算机的发展，人们对组合数学有了新的认识。[9]
3.3 计算机方法对数学哲学的贡献
具体地说，就计算机科学对数学哲学的影响而言，机器证明可以说起着最为重要的作用，而也正是在这样的意义上，四色定理的机器证明(1977)就可被看成上述主次关系转变的实际转折点。因为，在人类的历史上，这真是破天荒的一个事件，即是一个重要的数学定理由于使用计算机而得到了证明，而且后者在其中所发挥的作用是不可或缺的（计算机在此被用于对各种特殊情况的检验，由于后者的数量如此之多，相应的检验又是如此之繁琐，因此，如果不使用计算机，所说的检验过程就不可能得以完成）。[9]但是，这种借助于计算机的证明能否算是一个真正的证明？这样，计算机科学的发展就直接导致了如下的哲学思考：什么是“数学证明”？或者说，究竟什么是“数学证明”的本质？
事实上，从更为广泛的意义上来说，计算机可被认为正在改变数学的性质，因为，计算机不仅为数学研究提供了新的研究工具（应当明确，所说的工具作用不只限于计算和逻辑演算，而且也包括其它的功能，如图象显示等），而且也直接导致了数学研究方向或重点的转移（例如，由于计算机的使用使得大量过去无法实现的计算成为可能，这就不仅使一些传统的研究问题得以复活，而且还直接导致了一些新的研究分支，如“计算数论”、“计算几何学”等，另外，也有一些概念和理论由于计算机的使用变得特别重要，即如算法的概念和离散数学等）。再者，计算机的使用并导致了数学观的重要变化，即如人们对什么是数学问题的“满意解答”的看法等。从而，总的来说，计算机正在改变整个数学（包括数学活动）的面貌，而这当然也会引起相应的哲学思考：什么是数学？或者说，究竟什么是数学的本质？
3.4 计算机方法对数学研究的贡献
“计算机的计算速度和人的笔算速度比起来, 就好比是最快的飞机和蜗牛爬行的速度相比”。这句话很形象, 但计算机对数学发展的贡献远不止于此“除了数学新分支的形成扩展了数学的应用范围以外,计算机和计算机科学的发展还改变了以往数学应用的面貌,以及对数学的改造带来了不可忽视的影响。犹如望远镜之用于天文学、显微镜之用于生物学打开了人类认识自然的新境地一样, 计算机与计算机科学的发展也为数学开拓了新的场所。从现代数学发展的新趋向看,数学正在向复杂性进军, 研究的对象越来越复杂, 其主要表现有以下几方面：①从单变量到多变量,从低维到高维,②从线性到非线性；③从局部到整体,从简单到复杂；④从连续到间断,从稳定到分岔；⑤从精确到模糊;⑥计算机的使用。由此也可看出计算机在数学发展中所起作用之重要。此外,计算机网络的出现大大促进了数学研究的整体化。过去数学家的传统研究方式是单干，随着计算机网络技术的应用与普及,可将数学成果的信息迅速传播，通过终端机使数学研究者们的工作相互联系，取长补短，并可避免重复劳动。
一方面数学作为计算机科学的基础在计算机科学中得到越来越广泛应用，另一方面计算机科学也正加速数学的发展。随着计算机科学的发展，其在数学领域也得到了广泛的应用，其中包括作为数值计算的工具、定理证明的工具、数学实验的工具。
尽管一些传统数学家对计算机在数学的应用中所取得的成果加以低毁，说什么四色定理的计算机证明不可靠、分形几何不是数学、计算机破坏了数学的优美、计算机使数学走向衰败……总之，在他们看来，计算机不守本份地闯进数学证明这块数学家的世袭领地和数学实验是个祸害、是应该加以抵制的。但是，亦如当年在机器出现时一些人捣毁机器而没有阻挡住机器代替人的体力劳动一样，今天计算机也没有因为一些人的低毁而阻挡住它代替数学家的部分脑力劳动。而且，事实上，它还以前所未有的规模在数学中扩大着自己的应用，并且获取了越来越多的新成果，因此也证明了自己强大的生命力。现在，几乎每一位数学家的桌上都摆放着一台计算机，以使自己及时掌握世界数学研究的最新进展，避免重复性的劳动。特别是，他们还可以把大量的计算或机械性的推理交给计算机去完成，这样自己就可以有更多的时间去做一些更加具有创造性的工作。显然，以前那种靠一支笔、一张纸和几本参考书的手工生产方式正在被机器生产方式所代替。
纵观数学发展史上的几次重大革新，可以看到，机械化思想无不在其中发挥了极其重要的作用。例如，从算术应用题到代数、从欧几里得几何定理的证明到解析几何定理的证明，都贯穿着机械化思想，而微积分的发明使许多问题的解法变得更加容易，更加富有条理。在所有这些场合都是把各种各样解决问题的技巧概括为某种更好控制的按部就班的机械方法。之所以如此，是因为在数学研究的两种最基本的形式—计算和证明中，有许多部分，例如数值计算和符号推演，都是可以实现机械化的。也正因如此，计算机才在数学中得到了应用，从而加速了数学的发展。这主要表现在以下几个方面在理论上，由于“计算机像一个头脑迟钝但非常刻苦的学生，将这些表达式作为符合奇妙规则和运算的毫无意义的符号串进行处理”。正是由于计算机进行复杂计算的有效性，就使得原来占去数学家大部分时间的、今人厌倦的、单纯重复的、非创造性的机械性劳动，可以交给计算机去执行。由此就
综上可见计算机科学的基础是数学哲学，计算机科学的发展与应用离不开基础数学。数学缔造的计算机因其自身的发展对数学产生了深刻的影响。[9]计算机对数学最大的影响还在于计算机改变了人们对数学以往的认识，产生了新的方法。计算机的广泛应用加速了现代社会的“数学化”进程。由于越来越多的问题需要归结或表示成能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位得到了空前提高。“高技术本质上是数学技术”的观点已被越来越多的人们所接受。
计算机科学的发展正在对数学哲学的现代研究发挥十分重要的影响，而且，可以相信，随着时间的推移，这种影响的程度将会不断得到加强。数学哲学与计算机科学得发展是相辅相承互不可分得。数学的发展离不开实践，而实践需要数学来指导，不仅是在方法上，更是一种理性的精神。计算机科学是一门新的学科，而其发展之讯速、影响之大，可以与任何一个科学诞生时的情况相比，甚至远远超出。而其只有与数学相结合，才能不至迷失方向，数学也只有与计算机科学相结合，才能得到更完善的发展。
致 谢
四年的艰苦跋涉，几个月的精心准备，毕业论文终于到了划句号的时候，心头照例该如释重负，但写作过程中时常出现的辗转反侧和力不从心之感却挥之不去。论文写作的过程并不轻松，工作的压力时时来袭，知识的积累尚欠火候。第一次花费如此长的时间和如此多的精力去写一些东西，其中的艰辛和困难难以诉说。虽然其中没什么特殊的成果，但对我而言，是宝贵的。它是无数教诲、关爱和帮助的结果。
首先我要感谢我的指导老师叶耀军老师．叶老师虽身负教学重任，扔抽出自己的宝贵时间对我进行一一指导。从初稿到定稿，叶老师不厌其烦，一审再审，大到篇章布局的偏颇，小到语句格式的瑕疵，都一一予以指出。同时我还要感谢在这四年中所有给我上过课的老师，正是他们传授给我方方面面的知识．对论文的完成起到了基石的作用。我还要感谢学院的各个工作人员，他们细致的工作使得我和同学们的学习和生活井然有序。
谨向我的父母和家人表示诚挚的谢意。他们是我生命中永远的依靠和支持，他们无微不至的关怀是我前进的东西，可以说没有他们就没有我，我的点滴成就都来源于他们。
让我依依不舍的还有我的各位亲爱的同学，在我需要帮助的时候是他们第一时间出现在我的面前。
本论文的完成远非终点，文中的不足将成为我新的起点，我将继续前行。
参考文献
郑毓信.数学哲学中的革命[J].哲学与文化（台湾）,1995,8:1-7.
胡作玄.计算机对数学的影响[J].科学、技术与辩证法,1992,6:1-15.
柳延延.数学哲学一个充满迷惑的领域[J].自然辨证法通讯,2006,3:1-8.
杨忠泰.模糊数学的哲学意义[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版）,1998,1:1-4.
| 提供人：佚名 | |
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