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一、在几何审题中培养学生的新观念、新思想在解决数学问题的学习过程中,解答者首先要弄清楚题目的条件和结论,而在这个过程中就会产生很多种思路,就会猜想有几个可能的解决方案,思维朝着各种可能的方向前进,不局限于既定的模式,这就表现为新思想.因此,培养学生的几何思维能力,充分发挥学生的潜能,提高学生对数学的解题能力、培养他们的创新能力是很有必要的.那么,在平面几何中,该如何培养学生的新观念和新思想呢?【例1】　如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,则有结论:AB·AC=AE·AD.

若当图中的∠ABC变为钝角,且其他条件不变,如图2,则AB·AC=AE·AD是否仍成立?


在本题中对于两种图形证明方法类似,但通过对图形的变换可以提高学生对图形的观察能力和分析能力.

【例2】　四边形ABCD,AB=CD,BC=AD,E、F是AC上两点,请添加一个适当的条件,使得BF=DE.

对于本题中已知条件的给法有多种.若考虑利用三角形全等的方法来证明,一般有以下几种:(1)DE//BF;(2)∠ADE=∠CBF;(3)∠AED=∠BFC;(4)AE=CF;(5)AF=CE等等.已知(2)、(3)或(4)可直接证明△ADE≌△CBF;已知(5)可直接证明△ABF≌△CDE;从而利用全等三角形的对应边相等的性质得到BF=DE;而已知(1)也可去证明△ABF≌△CDE或△ADE≌△CBF,同时也能证明四边形DEBF为平行四边形后得出结论.这样,学生会认为自己出题自己解答,有一种轻松感.基础不好的学生,也觉得可以一试.

二、通过一题多解培养学生的创新能力创新能力不仅体现在审题上要有新观念和新思维,在解题方面也要不断寻求新的方法.通俗说就是解法的发散,即一题多解,用不同的方法达到共同的目标,多做这样的训练才能发散学生的思维,提高学生的创新能力.这在平面几何中是常见的.通过对一个题目的多种解法训练,使学生掌握各种不同的数学方法、不同的定义、定理、公式等等,从而使思维有更大、更广阔的空间.

【例3】　在△ABC中,D是BC边的中点,延长AD到E,延长AB交CE于P点,若AD=2DE,求证:AP=3AB.

本题有多种证明方法,关键是辅助线的选取,具体有以下几种:(1)过B作BK∥PC,交AE于K;(2)过D作DG∥PC,交BP于G;(3)作CP的中点M,连结DM;(4)延长DE至F,使EF=DE,连接CF.本题的前两种解法是根据平行线段对应线段成比例而得出结论,第三种是从中位线定理入手得到平行,而第四种是根据相似三角形的对应边成比例而得到的.

几何思维能力的培养过程,也是对数学知识的一个探索过程.学生通过对各种数学内容的创新实践,去探索数学的内在规律,从而获得新的知识和技能.学生的思维得到了从特殊到一般的升华.

总之,较强的创新思维能力是创造性人才的基本特征之一.在对学生进行创新思维训练的过程中,要吸收教育学和心理学的科学方法,面向全体学生,充分重视学生的主体意识,努力为学生营造较为安全的心理环境,鼓励他们大胆质疑,敢于标新立异,使创新思维的培养得以顺利实施.同时,富于联想、善于分解组合和引申推广,善于采用各种的变通方法,是提高数学能力的有效方法,应在具体的教学实践中加以推广应用.