3．9角的平分线

教学目标

1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．

2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．

3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题．

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

平分线OC．

2．画图探索角平分线的性质并证明之．

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE．

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．

（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．

3．逆向思维探求角平分线的判定定理．

（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．

（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．

（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．

4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．

（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如图3－87（a），     ABC的角平分线BD和CE交于F．

（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；

（2）求证：AF平分∠BAC；

（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．

（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．

练习 3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．

例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．

练习4  课本第54页的练习.

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

1．互逆命题、互逆定理的定义．

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．

2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．

例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）直角三角形的两锐角互余；

（3）对顶角相等；

（4）全等三角形的对应角相等；

（5）如果x＝y，那么x＝y；

（6）等腰三角形的两个底角相等；

（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．

例4  判断下列命题是否正确：

（1）错误的命题没有逆命题；

（2）每个命题都有逆命题；

（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；

（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；

（5）每一个定理都一定有逆定理．

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．

四、师生共同小结

1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

五、作业

课本第55页第3，5，6，7，8，9题．

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成．

角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．

3．9角的平分线

教学目标

1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．

2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．

3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题．

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

平分线OC．

2．画图探索角平分线的性质并证明之．

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE．

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．

（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．

3．逆向思维探求角平分线的判定定理．

（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．

（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．

（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．

4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．

（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如图3－87（a），     ABC的角平分线BD和CE交于F．

（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；

（2）求证：AF平分∠BAC；

（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．

（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．

练习 3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．

例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．

练习4  课本第54页的练习.

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

1．互逆命题、互逆定理的定义．

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．

2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．

例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）直角三角形的两锐角互余；

（3）对顶角相等；

（4）全等三角形的对应角相等；

（5）如果x＝y，那么x＝y；

（6）等腰三角形的两个底角相等；

（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．

例4  判断下列命题是否正确：

（1）错误的命题没有逆命题；

（2）每个命题都有逆命题；

（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；

（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；

（5）每一个定理都一定有逆定理．

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．

四、师生共同小结

1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

五、作业

课本第55页第3，5，6，7，8，9题．

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成．

角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．