使学生学会用量角器等分圆周的方法；熟练地掌握用尺规将圆周六、三、十二、四、八等分．

　　尺规等分圆周是重点，特别是将圆周四等分、六等分更为重要．

　　正n边形的中心角是多少？正六边形的边长是多少？

　　前面我们讲过，任意一个正n边形都有一个外接圆，并且正n边形的n个顶点把圆n等分．因此，正n边形的作图问题，实质上就是把它的外接圆n等分问题，把圆n等分后，依次连结各分点就得到正n边形．这节课我们主要学习如何把圆周三、六、十二、四、八等分．

　　等分圆周的方法有两种：

　　1．使用量角器法

　　n等份，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形．

　　由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法．

　　2．尺规作图法

　　由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法．尺规作图法比较准确．

　　(1)正四、八边形的作图；

　　正四边形的作法：

　　如图1，①作直径AC⊥BD；

　　②依次连结AB、BC、CD、DA．

　　则四边形的ABCD即为所求作的正四边形．

　　证明：∵直径AC⊥BD，

　　∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，

　　∴A、B、C、D是⊙O的四等分点，

　　∴四边形ABCD是正四边形．

　　正八边形的作法：

　　如图2，①作直径AC⊥BD；

　　②作∠AOB、∠BOC的平分线交⊙O于E、F点．

　　③延长EO、FO交⊙O于G、H点；

　　④依次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．

　　则八边形AEBFCGDH即为所求作的正八边形．

　　证明：∵直径AC⊥BD，

　　∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°

　　∵ OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，

　　∴∠1=∠2=∠3=∠4．

　　∵ ∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，

　　∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8，

　　∴八边形AEBFCGDH为正八边形．

　　(2)正六、三、十二边形的作图

　　正六边形的作法：

　　如图3，①作直径AD；

　　②分别为A、D为圆心，以⊙O半径OA为半径画弧交⊙O于B、F、C、E；

　　③依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA．

　　则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形．

　　证明：连结OB、OC、OE、OF．

　　∵AB=OA=OB，

　　∴∠1=60°

　　同理 ∠2=∠3=∠4=60°．

　　∵∠AOD=180°，

　　∴∠5=∠6=60°．

　　∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2．

　　∴六边形ABCDEF是正六边形．

　　正三角形的作法：

　　如图4，①作直径AD；

　　②以D为圆心，以⊙O半径为半径画弧交⊙O于B、C点；

　　③依次连结AB、BC、CA．

　　则△ABC即为所求作的正三角形．

　　证明：连结OB、OC、BD、CD．

　　∵BD=DO=OB，

　　∴∠BOD=60°．

　　同理 ∠DOC=60°

　　∴∠BOC=120°．

　　∵∠AOD=180°，

　　∴∠AOB=∠AOC=120°．

　　∵ ∠AOB=∠BOC=∠COA，

　　则△ABC为正三角形．

　　说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形，但是这样产生的误差较大．

　　正十二边形的作法：

　　如图5，①作直径AG⊥DQ；

　　②分别以A、D、G、Q为圆心，以⊙O半径为半径画弧分别交⊙O于C、R、B、F、E、P、H、S点；

　　③依次连结AB、BC、CD、DE、…、SA．

　　则十二边形ABCD……S即为所求作的正十二边形．

　　证明：连结AC、OB、OC、OE、…、OS．

　　∵AC=OA=OC，

　　∴∠AOC=60°．

　　∵直径AG⊥DQ，

　　∴∠AOD=90°，

　　∴∠COD=30°．

　　同理 ∠AOB=30°，

　　∴∠BOC=30°．

　　同理 ∠DOE=…=∠SOA=30°．

　　∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA，

　　∴十二边形ABCDE…S为正十二边形．

　　说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确．

　　当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些．

　　注意：在用尺规作正多边形时，为了减少累积误差，应尽量避免从圆上某一点开始连续截取等弧的方法．

　　小结：这节课我们着重研究了用尺规作特殊的正多边形的方法．通过作图，大家进一步体会到作正n边形的实质就是将圆n等分的问题．在生产实践中，常常会遇到等分圆周的问题，所以希望大家一定要掌握好这些基本的正多边形的作法．

　　1．用量角器画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出正五角星．

　　2．(1)画一个半径为2cm的正九边形；

　　(2)画一个边心距为2cm的正六边形．

　　3．尺规作图：

　　(1)作半径为2cm的⊙O内接正八边形；

　　(2)作半径为2cm的⊙O内接正十二边形．

　　4．已知⊙O和⊙O上的一点A，

　　(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；

　　作业答案：(略)．