杭州g值的凯特摆法的模型分析 - 免费论文，论文大全,个人简历,英语学习,教案在线,实用文档,演讲发言

1.1 研究的动机和目的
    重力加速度是物理中一个非常重要的物理量，通常g是指地球地面的物质受到引力的作用在真空中下落的加速度。地球上的我们无时无刻都受重力的影响，但是人造卫星或宇宙飞船中的物体处于失重状态，但产生与地面上不同的奇异物理现象。研究性学习是科学教育课程中的一种重要方法，其功能在于培养我们的科学素养，培养我们探究能力，利用科学方法解决实际问题能力。在研究性学习活动中，从资料查阅、收集、实践、数据处理、信息分析都要我们自己亲自完成，充分发挥了我们的主体作用，让我们真正成为学习的主人；同时研究性学习一般是以问题为中心，引导我们去发现问题，找出探索解决问题的途径和方法，这又培养了他们的实践能力．尽管在研究过程中存在着许多不足，我们在查阅资料时合作性不多，对收集到的资料、数据的分析处理不足，我们还不习惯于独立研究问题，依赖性较强。但研究过程分析，绝大多数在本课题的研究过程中是比较成功的，研究的内容是切实可行的，研究方案的制定是比较合理的。在研究活动中，从知识到能力都有不同程度的收获和提高，在研究中暴露出的问题，可以得到进一步完善、提高。
1.2 研究背景
    重力加速度是怎么被发现的呢?如果有两个球，一个十公斤重，一个一公斤重，让它们从同样的高度，同时自由下落，哪个先着地?古希腊哲学家亚里斯多德说，当物体受地球的引力而下落时，重的东西下落得快，轻的东西下落得慢。人们脑子里想象的情况也是这样的，所以很长的时期里，没有人怀疑过。那时候，在欧洲，亚里斯多德学说被奉为经典学。
    可是两千年以后，一位年轻的物理学家伽利略对亚里土多德的观点提出了质疑，他在1638年写的《两种新科学的对话》中指出:假设把两个物体拴在一起。那么快的会由于被慢的拖着而减速，慢的会由于快的而加速。取一块大石头，设它下落的速率为8 ，一块小石头，设它下落的速率为4 ，将它们拴在一起。整个糸统的下落速率应该小于8 ，但是两块石头拴在一起要比以前那个速率为8 的石头重。这样从重物比轻物下落的快的假设中推出了重物下落得更慢的结论，从而否定了流传两千年的落体运动的谬论。这里还有个故事，加利略做了个实验，实验是在意大利比萨斜塔上进行的。那一天，伽利略请来一些亚里斯多德学派的教师看他表演，不少学生听到消息也赶来了。伽利略登上斜塔，一手拿一个十磅重的铁球，一手拿一个一磅重的铁球，向塔下的人们喊了声：“请各位注意”，说罢，两手一松，两个球同时往下落，只听得扑通一声，两个球同时着地。比萨斜塔下顿时沸腾起来了，实验证明了：轻重不同的物体下落的快慢是一样的，亚里斯多德的论断是错误的。但是亚里斯多德的崇拜者们却不甘心，他们说伽利略是“用魔术把大铁球给阻碍住了。”这真是无稽之谈。事实总归是事实，那些亲眼看见实验的学生们却兴奋万分，围着伽利略问长问短。从此，比萨斜塔成为物理学的“圣地”之一，至今仍吸引着各地来的游客。然后伽利略根据不同重力的物体几乎同时落地的事实提出假设，他认为，只有假定下落物体速度变化的快慢与物体的重量无关，才能消除一些矛盾，伽利略就是从自由落体运动入手，认为自由落体是初速度为零的匀加速直线运动，渐渐的通过实验得出了有重力加速度。
    随着重力发现，学者也开始对它进行更深入的研究，摆在他们面前的第一个问题就是怎么对它进行测量。1672年，法国科学院为准确测量火星与地球问的距离，年轻派的天文学家利舍到赤道附近去观测火星。利舍随身带了一架天文望远镜、一座摆钟和一台六分仪，渡过大西洋，来到圭亚那的首府卡吴。他安好仪器，就一心投入了观测工作。这时候，一件小小的事情引起了他的注意，就是那座在巴黎走得很准的摆钟变慢了，一昼夜慢两分半；后来他回到巴黎，摆钟又走得正常了。奇怪，这是什么道理呢7当时，牛顿听说了这件事，他立即作出了回答：摆钟变慢，是因为赤道附近的重力加速度稍小引起的。现在我们知道，可以用单摆测定重力加速度，做这个实验也很简单，只要找一根线，一头系一个小铝锤，另一头固定在支架上，这就做成了一个单摆。用手把摆球捡起来，再放手后，小球就来往不息地摆动起来，摆球拉起来，再放手后，小球就来往不息地摆动起来，摆动的幅度开始大些，然后渐渐地小，而来回摆动一次的时间，也就是摆的周期是一定的。这叫摆的等时性，是伽利略发现的。
    后来，荷兰物理学家惠更斯进一步弄清了：摆的摆动周期，既和摆长的平方根戍正比，也和当地的重力加速度的平方根成反比。如果摆的长度不变，而重力加速度变小了，摆的摆动周期就变长。例如：在海平面上速度变小了，摆的摆动周期就变长。例如：在海平面上每秒钟摆动一次的摆，在山顶上摆动一次的时间，就会比一秒钟稍稍长一点。这就证明了从巴黎带到赤道附近的摆钟，确实是由于重力加速度变小而变慢的。
    于是，人们就利用测定摆的摆动周期的方法，来测量重力加速度。但是这样测量的重力加速度不是很精确，须进行修正，计算就比较繁杂了。直到1818年由凯特（Kater)提出一种新的测量方法，设计出了一种物理摆，是以他的名字命名的叫凯特摆。他巧妙地利用物理摆的共轭点，避免和减少了某些不易测准的物理量对实验结果的影响，提高了测量重力加速度的精度。后来雷普索里作了改进，成为当时测量g值最精确的方法。波斯坦大地测量研究所曾同时以五个凯特摆花了八年时间（1896—1904），测得当地重力加速度是g=(981.274±0.003）cm/s ，很多地区的g值都曾以此为根据，进行相对测量而得到。凯特摆测g的方法不仅在科学史上有重要价值，而且在实验设计思想上有值得学习的特点。
1.3 本文主要内容
    本文主要以上述摆的共时性的理论依据，采用我院校实验资本仪器设计一个凯特摆，来进行实验测量数据，并根据数据利用公式计算出杭州g值（ h ，h 是两个刀口到质心的距离。T是摆动周期）。
第二章摆的共时性原理

    在摆长不变的情况下，不论摆动幅度大些还是小些,完成一次摆动的时间是相同的。现在人们公认伽利略发现了摆的等时性原理，那是他在比萨的教堂中观察吊灯摆动现象时引发的结论。按照等时性原理，如果摆的振幅较小，那么摆动的周期同摆动的振幅无关。尽管在伽利略之前的好几个世纪中，等时性早已为阿拉伯人所熟知，但以严谨的科学态度去研究这一现象的科学家还是首推伽利略。他指出摆的周期并不取决于摆线上悬挂物的多少，而只取决于摆线长度的平方根。如果不考虑阻力的影响，悬挂在等长线上的一个软木球或一个铅球的摆动规律是相同的。如果谁想验证一下摆动的规律，只需找一个适当的支架、一根线和一个钓鱼的铅坠，并将它们所示连接起来就行了。频率增高：拉动摆线活动的一头，缩短摆长，摆的频率即随之增高。轻轻推动摆锤，让其以较小的振幅摆动，然后拉

3.1 摆运动的特征分析
    摆运动就好像一个钟摆，一会儿朝左，一会儿朝右，周而复始，来回摆动。钟摆总是围绕着一个中心值在一定范围内作有规律的摆动，所以被冠名为钟摆理论。摆是一种实验仪器，可用来展现种种力学现象。最基本的摆由一条绳或竿，和一个锤组成。锤系在绳的下方，绳的另一端固定。当推动摆时，锤来回移动。摆可以作一个计时器。垂直平面的线的交角，θ0为θ的最大值，m为锤的质量，表示角度加速度。忽略空气阻力以及绳的弹性、重量的影响：锤速率最高是在θ = 0时。当锤升到最高点，其速率为0。绳的张力没有对锤做功，整个过程中动能和位能的和不变。注意不论θ的值为何，运动周期和锤的质量无关。当θ相当小的时候，因此可得到一条齐次常系数微分方程，此为一简谐运动的周期。
3.1.1 单摆
    单摆由一根不可伸长、质量不计的绳子，上端固定，下端系一质点，设单摆的摆长为L.摆球质量为m 。但单摆左右摆动时，摆球所受到的合外力，其中为摆角。这时摆球的重力加速度，角速度

摆角要小于5°，这时认为，这时

此时单摆的振动近似为简谐振动

综上得
那单摆的振动周期为
3.1.2 复摆
    取一根质量均匀分布的刚体条，比刚体条上与质心距离为的点作为支点悬挂起来，就够成一个复摆了。当复摆以一个很小的角度摆动时，。作用在刚体上的外力矩为

m是刚体条的质量，g为重力加速度，h为质心到悬挂点的距离。在力矩的作用下，刚体将产生一个指向平衡位置的角速度， ,J代表转动惯量，因为角加速度可以表示成，所以综上得

由于复摆的一个物理特征量，所以
依据转动惯量的平行轴定理，可以将J表示为，所以

若分别选择与质心距离为h 和h 的两条平行轴线作为悬挂转轴，可得到联立方程组

消去后解出

    还有凯特摆，凯特摆是由英国科学家Kater在1818年提出来测量重力加速度的工具。它比单摆准确。在一根长杆上有一些重物。杆上有两个刀口，分别在重心两边。设两个刀口距离重心为h1,h2。分别以两个刀口为支点进行微角度简谐运动，考虑力距，可以计算得摆动周期T1,T2有以下关系：若调整重物的位置，使得T1 = T2，便可以很

第四章用凯特摆测量杭州g值
4.1 实验仪器介绍
实验仪器有凯特摆、铁架台和计时器组成。凯特摆由底座、压块、支架、V形刀承和一根长一米的金属摆杆组成。金属摆杆上嵌有二个对称的刀口，作悬挂之用，一对大小形状相同、但质量不同的大摆锤分别位于摆杆的两端，另一对小摆锤位于刀口的内侧，大摆锤由金属制成，小摆锤由塑料制成。就摆杆的外形而言，摆杆各部分处于对称状态，其目的在于抵消实验时空气浮力的影响以及减小阻力的影响。图 4-1到图 4-4是我在实验室相关条件的基础上，自己组装制作的凯特摆，图 4-4是组装完成图。

图 4-1：凯特摆
    凯特摆的两端大小4个摆锤作用是调节摆锤的位置可以改变凯特摆的重心。调节刀口可以改变等值单摆长L。实验时需要先调节凯特摆的重心位置，重心调节完成的标志是：使用任何一个刀口时，凯特摆的摆动周期相同。

图 4-2: 凯特摆的大摆锤                              图 4-3: 凯特摆的小摆锤

图 4-4: 固定刀口和V形刀承

图 4-5：实验仪器
4.2 实验原理
    凯特摆是一种两端不对称的复摆，A、B是可以移动的大摆锤，C、D是小摆锤，A、B是粗调，C、D是微调。都是用来调整重心的位置。我们可以从凯特摆的运动方程式解出摆动周期。

图 4-6
、是两个刀口的悬挂点，重心位于G，质量m，G到的距离是，G到的距离是。要是复摆以为悬挂点。当转动了θ角时，摆受到的力矩是：

负号是因为此时重力产生的力矩方向，具有使复摆摆动角度有变小的趋势，亦即时，；时，。
当很小时，，那么力矩τ是，运动方程式就是

解微分方程式可得到
其中、δ均是常数，可以由摆动的起始条件（initial condition）来决定。因为余弦函数的周期为2π，所以如果以T表示摆动周期，则
                 （4.1）
&n

即                                         （4.2）
同理，要是以为悬挂点，那么复摆的周期是

                 （4.3）
由（2）、（3）两式消去R，则

故                                        (4.4)

所以只要我们分别测知复摆悬挂在、时候的周期、及两个悬挂点到重心G的长度、，就可以求出重力加速度值。又因为等于与间的距离L，此L称为此复摆的等效单摆长，所以只要我们能够使的话，那么 (4)式就可以简化成
                    （4.5）
4.3 实验步骤及数据分析
1. 将凯特摆小心的放在三角铁上，用平衡法找出重心G的位置，并且求出、。
2. 使凯特摆的刀口悬挂在墙壁的支架上，轻轻的使其摆动（摆动时，角度不得超过5°，且尽量不使摆摇晃）。用计时器记录摆来回摆动20次所需的时间，并且将这个值除以20，就是摆动的周期。
3. 将凯特摆倒置，使悬在支架上，依步骤2的方法求出。
4. 看所测出的数据，进行调试，如果相差巨大，调整大摆锤，如果相差不大，调整小摆锤。
5. 不断重复步骤1到步骤4，直到两个找到为止，并求出g值
6. 不断重复上面的步骤，求出10个g值，并求出g的平均值。
7. 将实验设备拆卸，清理干净。
实验数据表 4-1
     次数
周期   1   2   3   4   5   6   7   8   9 10
20T1/s 35.72 35.74 35.74 35.75 35.73 35.74 35.72 35.72 35.76 35.75
20T2/s 35.76 35.76 35.77 35.77 35.79 35.78 35.79 35.77 35.76 35.76
g/
9.805973 9.8004877 9.797747 9.795007 9.795007 9.795007 9.797747 9.803230 9.795007 9.797747
=9.798296 ，实际杭州g值为9.79362 ，误差为万分之五，符合实验精度要求。
4.4 实验误差分析
    既然为实验就存在着实验误差，主要是系统误差和随机误差，本实验也不例外，实验的周期的数据并不完全一样。
    首先系统误差，因为不管多么精确的实验设备它总有仪器误差，理论误差，环境误差和个人误差。实验仪器刀口必须与摆垂直，两刀口必须平行和对称。刀口与刀承应是线接触，但在真正实验时，绝对垂直不可能的，这里存在着误差。还有由于本人生理和心理的特点，有可能造成数据偏大或偏小的误差。环境也不是在绝对真空中，就会造成环境误差。这个实验公式也不是完全正确的，这样造成了理论误差。
    其次随机误差，因为仪器的精确性虽然高，但是还是会产生误差的，测量数据产生变化。
    最后是粗大误差，这个误差虽然在数据里我已经把它剔除了，但在实验过程中还是产生了。这是由于个人的粗心大意产生的，但可以通过努力已经克服它。

通过学校现有条件组装制作的凯特摆，并精确的测量了杭州的g值，误差仅为万分之五，证明凯特摆测量重力加速度数据精确可靠。随着时代的进步，前人又设计出了很多巧妙的测量方法，如物理摆的一种新设计，它采用回形针接触代替传统物理摆的支点结构。利用它可以在实验上和理论上对物理摆的转动惯量进行简单、方便、准确的测定和研究。所用的摆可以快捷地利用物理实脸室的普通器材装配起来这种物理摆只要稍作一下改动就可以很轻易地得到不同的转动惯量, 也可用它来脸证平行轴定理。还有根据转动惯量的平行轴定理，提出了用三线摆测量重力加速度的一种新方案，从而提高了实验测量精度。
随着对重力加速度的测量越来越精确，对它的应用也随着增多。如重力辅助惯性导航技术是利用地球物理特征信息数据—重力来完成水下运动载体的辅助导航与定位，应用卫星重力信息对横断山系地区布格重力异常特异分

值此论文完成之际，首先向我的导师王长荣教授表示衷心的感谢。从论文选题、进展到最后定稿都凝聚着王老师的心血。王老师在学业上严格要求，生活上也给予了无微不至的关怀与帮助。在本文开题和撰写过程中，更是给予了我全力的支持和精心的指导，不仅给我提供了相关文献，而且时时告诫我要精益求精。在论文指导过程中，处处体现了他高度责任感和严谨的治学态度。通过撰写本论文，让我逐渐明白了只有自己去努力钻研，多花心思，这样才能做出成果，学到知识,在此衷心地感谢王老师的细心指导和殷切教诲。
特别感谢李祖樟等老师在实验中给予的指导和帮助。感谢他们在这过程中给我关怀和指点，他们的执着的精神以及不断超越自我的创新意识，对我产生了深远的影响。
同时我还要感谢几位同学，蔡光曙、张耀辉、张峰、王阳江在这段时间中他们的关心和帮助，与你们在一起学习十分愉快。
最后，对我的学习全力支持的老师和身边给予我热心帮助和鼓励的朋友致以最衷心的感谢！

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