－２（当且仅当 Ｍ为直线Ｆ１Ｂ与上半椭圆的交点时取得）．

　　例６ 已知０＜ｘ，ｙ，ｚ＜１，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝２，求证：１＜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．

　　分析与证明：根据题意，设ｘ＝１－ａ，ｙ＝１－ｂ，ｚ＝１－ ｃ，则有ａ，ｂ，ｃ∈（０，１），且ａ＋ｂ＋ｃ＝１．

　　∴ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ

　　＝（１－ａ）（１－ｂ）＋（１－ｂ）（１－ｃ）＋（１－ｃ）（１－ａ）

　　＝３－２（ａ＋ｂ＋ｃ）＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

　　＝１＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＞１．①

　　至此，上述问题转化为人们所熟悉的问题：

　　已知正数ａ、ｂ、ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１．求证

　　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１/３．（化生为熟）

　　此时注意到３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）－１

　　＝３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）－（ａ＋ｂ＋ｃ）２

　　＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－ａ２－ｂ２－ｃ２

　　＝－（１/２）［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］≤０，

　　∴ ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１/３．

　　于是由①得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．②

　　综合①、②便证得１＜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．

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