的轨迹方程为

　　ｘ２＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．

　　事实上，当我们孤立考察动圆的方程而导出②、③两式后，根据范畴间的相互依存关系，可转而去寻觅两圆方程间的内在联系．这种联系一经发现，新的解法便随之产生．

　　解法2．注意到这里ｙ≠０，考察②、③两式的联系，知ｘ１、ｘ2是二次方程ｙｔ２＋ｘｔ－（ｘ２＋ｙ２）＝０的两实根，由韦达定理得ｘ１ｘ2＝－（ｘ２＋ｙ２）/ｙ． ⑥

　　于是由①、⑥得Ｃ点的轨迹方程为

　　ｘ２＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．

　　“直”与“曲”是辩证的统一．面对所给的曲线问题，分析问题的特殊性，发掘问题中与曲线相互依存的直线．这样的直线一经揭露，化“曲”为“直”的解法便应运而生．

　　解法3．由圆的性质知ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ．

　　∴ Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，且ＯＣ⊥ＡＢ．

　　设过点Ｏ且垂直ＡＢ的直线为ｌ，则Ｃ点的轨迹即为动直线ＡＢ与ｌ的交点的轨迹（化曲为直）．

　　ｋAB＝ｘ１＋ｘ2，直线ＡＢ的方程为ｙ－ｘ１２＝（ｘ１＋ｘ2）（ｘ－ｘ１）．

　　以①代入上式得ｙ－１＝（ｘ１＋ｘ2）ｘ，⑦

　　又直线ｌ的方程为ｙ＝（－１/（ｘ１＋ｘ2））ｘ． ⑧

　　⑦×⑧并整理，得ｘ２＋ｙ２－ｙ＝０（ｙ≠０）．故Ｃ点的轨迹方程为

　　ｘ2＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）．

　　三、对偶范畴间相互贯通关系的诱导

　　分析问题是解决问题的前提和基础．分析的方法就是辩证的方法（毛泽东语）．范畴间相互贯通的辩证关系，为解题思路的发现提供线索，为数学问题的转换变通提供依据．其中，特殊与一般是最为重要的一对范畴．就认识的过程来说，人们总是从事物的特殊性入手去认识事物的一般性，而当人们掌握了事物的一般属性之后，又能以一般性为指导去认识尚未认知的其他特殊性质．人们对事物的认识由此一步步引向纵深．

　　例3 对于二次曲线Ｃk：ｘ２/（９－ｋ）＋ｙ２/（４－ｋ）＝１，证明：任取平面上一点（ａ，ｂ）（ａｂ≠０），总有Ｃk中一个椭圆和一个双曲线通过．

　　分析（特殊探路）：取点（1，1）代入Ｃk并整理，得ｋ２－１１ｋ＋２３＝０，解得

　　ｋ１＝（１１－）/２∈（－∞，４），

　　ｋ2＝（１１＋）/２∈（４，９）．

　　由此可知，对于ｋ＝ｋ１，Ｃk表示椭圆；对于ｋ＝ｋ2，Ｃk表示双曲线．

　　至此，便探知本题解题思路：

　　（1）取点（ａ，ｂ）（ａｂ≠０）代入Ｃk并整理，得

　　ｆ（ｋ）＝ｋ２＋（ａ２＋ｂ２－１３）ｋ＋（３６－４ａ２－９ｂ２）＝０；

　　（2）证明ｆ（ｋ）＝０的一根在（－∞，４）内，而另一根在（４，９）内，即证ｆ（４）＜０，ｆ（９）＞０．（证明从略）

　　注意到特殊与一般的辩证关系，当由问题本身难以推出所需结论时，不妨主动“升级”，转而研究关于原命题的更具一般性的命题．这样的命题一经解决，便如登高眺远，解题环节与问题本质纵览无余．于是，求解原来的问题便可居高临下，一蹴而就．

　　 例４ 已知Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ2，ｙ2）为抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上两点．设甲：ｙ１ｙ2＝－ｐ２；乙：直线ＭＮ经过抛物线的焦点Ｆ．那么甲是乙的____条件．

　　分析：由课本Ｐ．１０１第8题知，甲是乙的必要条件．由于条件的充分性难以判断，故转而考察更为一般的问题：经过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞ ０）的轴上一点Ｑ（ａ，０）（ａ＞０）作抛物线的弦ＭＮ，寻找Ｍ、Ｎ两点纵坐标之间的联系．

　　设直线ＭＮ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－ａ），①

　　 ①代入ｙ２＝２ｐｘ，得ｙ２－（２ｐ/ｋ）ｙ－２ｐａ＝０． ②

　　由②得ｙ１ｙ2＝－２ｐａ．

　　此此易见ｙ１ｙ2＝－ｐ２ａ＝ｐ/２点Ｑ即焦点Ｆ．故甲是乙的充分条件．于是可知甲是乙的充要条件．

　　 四、对偶范畴间相互转化关系的运用

　　 解题过程是一系列的转化过程，其中，范畴间由此及彼的相互转化，乃是这一系列转化中的关键环节．有关事物的定义、定理和性质是完成这种转化的桥梁，变量替换则是以量变促发质变的基本手段．循着范畴间的辩证关系思考问题，东方不亮西方亮，南方 受阻有北方，使我们得以左右周旋，转换变通，从而避繁就简，化生为熟，发现令人满意的解题思路．

　　 例5 已知Ａ（４，０）、Ｂ（２，２）是椭圆ｘ２/２５＋ｙ２/９＝１内的点．Ｍ是椭圆上的点，求｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最值．

　　 解：这里ａ＝５，ｂ＝３，ｃ＝４，Ａ（４，０）即椭圆右焦点Ｆ2．由于这一和式的最值难以寻觅，考虑将“＋”向“－”转化．

　　由椭圆定义得｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ2｜＝１０．

　　∴｜ＭＡ｜＝１０－｜ＭＦ１｜（Ｆ１为椭圆左焦点），

　　∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜＝１０＋（｜ＭＢ｜－｜ＭＦ１｜），（完成“＋”向“ －”的转化）

　　∵｜ＭＢ｜－｜ＭＦ１｜≤｜ＢＦ１｜＝２，

　　∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜≤１０＋２（当且仅当Ｍ为直线Ｆ１Ｂ与下半椭圆的交点时等号成立），

　　∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最大值为１０＋２．

　　 同理可得｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最小值为１０

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