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自然，所用的知识是一般高中生所熟知的．再举二例以说明这种方法有较大的适用范围．
例5 设ａ，ｂ，ｃ，ｄ是满足ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝1的正实数，求证：ａ3／（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ｂ3／（ａ＋ｃ＋ｄ）＋ｃ3／（ａ＋ｂ＋ｄ）＋ｄ3／（ａ＋ｂ＋ｃ）≥1／3．（第31届ＩＭＯ备选题）
证明：ａ3／（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ａ（ｂ＋ｃ＋ｄ）／9≥（2／3）ａ2，
ｂ3／（ａ＋ｃ＋ｄ）＋ｂ（ａ＋ｃ＋ｄ）／9≥（2／3）ｂ2，
ｃ3／（ａ＋ｂ＋ｄ）＋ｃ（ａ＋ｂ＋ｄ）／9≥（2／3）ｃ2，
ｄ3／（ａ＋ｂ＋ｃ）＋ｄ（ａ＋ｂ＋ｃ）／9≥（2／3）ｄ2．
∴ ａ3／（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ｂ3／（ａ＋ｃ＋ｄ）＋ｃ3／（ａ＋ｂ＋ｄ）＋ｄ3／（ａ＋ｂ＋ｃ）≥（2／3）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2）－（2／9）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＋ａｃ＋ｂｄ）
＝（5／9）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2）－（2／9）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）＋（1／9）（ａ2＋ｃ2－2ａｃ＋ｂ2＋ｄ2－2ｂｄ）
≥（5／9）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2）－（2／9）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）≥（5／9）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）－（2／9）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）＝（1／3）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）＝1／3．
当ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝1／2时，原不等式左边的四个项都等于1／12，由此出发凑“等因子”．对于某些中学数学中的常见问题也可用这种方法解决，降低问题解决对知识的要求．
例6 设ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ＋，ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝8，求Ｍ＝ ＋ ＋ ＋ 的最大值．
分析：猜想当ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝2时Ｍ取得最大值，这时Ｍ中的4个项都等于3．要求Ｍ的最大值，需将Ｍ向“≤”的方向进行不等变换，由此可得3 ≤（3＋4ａ＋1）／2＝2ａ＋2，3 ≤2ｂ＋2，3 ≤2ｃ＋2，3 ≤2ｄ＋2．于是3Ｍ≤2（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）＋8＝24，∴Ｍ≤8．当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ时等号成立，所以Ｍ的最大值为8．
当然，例6利用平方平均数不小于算术平均数是易于求解的，但需要高中数学教材外的知识．利用较少的知识解决较多的问题，是数学自身的追求，而且从教学上考虑，可以更好地培养学生的数学能力．先有猜想，后有设计，再有证法，也是数学地思考问题的基本特征．
3．引发矛盾，启迪探索
在利用基本不等式求最大值或最小值时，都必须考虑等号能否取得，这不仅是解题的规范要求，而且往往对问题的解决提供有益的启示．特别当解题的过程似乎顺理成章，但等号成立的条件却发生矛盾或并不一定成立．这一新的问题情景将启迪我们对问题的进一步探索．
例7 设ａ，ｂ∈Ｒ＋，2ａ＋ｂ＝1，则2 －4ａ2－ｂ2有（）．
Ａ．最大值1／4 Ｂ．最小值1／4
Ｃ．最大值（ －1）／2 Ｄ．最小值（ －1）／2
分析：由4ａ2＋ｂ2≥4ａｂ，得原式≤2 －4ａｂ＝－4（ ）2＋2 ＝－4（ －1／4）2＋1／4≤1／4．若不对不等变换中等号成立的条件进行研究，似已完成解题任务，而且觉得解题过程颇为自然，但若研究一下等号成立的条件，则出现了矛盾：要使4ａ2＋ｂ2≥4ａｂ中的等号成立，则应有2ａ＝ｂ＝1／2，这时 ＝ ／4≠1／4，第二个“≤”中的等号不能成立．这一矛盾使我们感觉到解题过程的错误，促使我们另辟解题途径．事实上，原式＝2 －（2ａ＋ｂ）2＋4ａｂ＝4ａｂ＋2 －1，而由1＝2ａ＋ｂ≥2 得0＜ ≤ ／4，ａｂ≤1／8，∴原式≤ ／2＋1／2－1＝（ －1）／2，故选Ｃ．
等号不一定成立而启迪我们对问题进一步探索的典型例子是1997年全国高考（理科）第22题：
例8 甲、乙两地相距Ｓ千米（ｋｍ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ｃ千米／小时（ｋｍ／ｈ）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度ｖ（千米／小时）的平方成正比，比例系数为ｂ，固定部分为ａ元．
Ⅰ．把全程运输成本ｙ（元）表示为速度ｖ（千米／小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
Ⅱ．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶?
分析：ｙ＝ａＳｖ＋ｂＳｖ，ｖ∈（0，ｃ］，由ｙ≥2Ｓ 当且仅当ａＳ／ｖ＝ｂＳｖ，即当ｖ＝ 时等号成立得，当ｖ＝ 时ｙ有最小值．这是本题的正确答案吗?那就得考虑ｖ＝ 是否一定成立．当 ≤ｃ时可以，但 是有可能大于ｃ的．这就引发了我们进行分类讨论的动机，同时也获得分类的标准．
综上所述，“等”是不等式问题中一道特殊的风景，从“等”中寻找问题解决的思路，本质上是特殊化思想在解题中的应用．从教学上看，引导学生注视不等式问题中的“等”，是教会学生发现问题、提出问题，从而分析问题、解决问题的契机． 上一页 [1] [2]
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