有可能构造无风险投资组合，该组合既不存在汇率变动风险，也不存在获取超额无风险利润的套利机会；并且，当（11）式满足时，则在φ、u和d三个变量中，一个变量可由另外两个变量所确定。

　　当然，当即期汇率随时间变化时，套期比率H也随时间变化，应及时调整组合中各资产头寸量，保持期权组合δ中性。

　　二、Call期权定价的一般表达式以上推导出的单周期Call期权定价式可推广到n周期的情形，期权有效期t按n周期平分后每个周期的时间间隔为t/n，按复利计算一个周期远期汇率为

     F＝Se（r-f）t/n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （15）

　　每个周期对应的上升概率为　　

      e(r-f)t/n－d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 q＝───────　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)
　　　　　 　u－d　　　　　

　　n周期即期汇率二项式分支如图3所示，n周期外币Call价值二项式分支如图4所示。

　　unS　　　　　 j＝n q　　　 uuS q　　　　 uS　　　　　　　　　　　 un-1dS　　　　    j＝n-1

　　ujdn-jS　　　 j S　　　　　　　　　　1－q　　　udS q udn-1S　　　　j＝1－q　　　　   dS 1－q　　　ddS　　　 dnS　　　　　 j＝0

　　0└──周期1 ──┴──周期2 ─┴─　周期n─┘t

　　图3　n周期即期汇率二项式分支图

　　Cun＝max{0，unS－X}　　　　　j＝n

　　q　　　Cuu

　　q　　　Cu　　　　　　　　　Cudn-1＝max{0，udn-1S－X}　　 j＝n-1 1-q C　　　　　　　　    q　　　Cud　　 Cujdn-j＝max{0，ujdn-jS－X}　 j

　　1-q　　 Cd　　　　　　　　　Cudn-1＝max{0，udn-1S－X}　　 j＝1

　　1-q　　 Cdd

　　Cdn＝max{0，dnS－X}　　　　　j＝0

　　0└─周期1 ─┴─周期2 ┴　周期n─┘t

　　图4　n周期外币Call价值二项式分支图

　　由图3可知，从期初价格为S经过n周期后价格达到ujdn-jS点的概率为qj（1-q）n-j，n周期后出现这个价格点总次数为n！/（j！（n-j）！）次。

n　　 n!
　　C＝∑ ─────qj(1-q)n-j×max{0,ujdn-jS－X}e-rt/n×n　　　 (17)
　　　 j＝0 j!(n-j)!　　　

　　n周期即期汇率二项式分支如图3所示，n周期外币Call价值二项式分支如图4所示。

　　unS　　　　　 j＝n q　　　 uuS q　　　　 uS　　　　　　　　　　　 un-1dS　　　　    j＝n-1

　　ujdn-jS　　　 j S　　　　　　　　　　1－q　　　udS q udn-1S　　　　j＝1－q　　　　     dS 1－q　　　ddS　　　 dnS　　　　　 j＝0

　　0└──周期1 ──┴──周期2 ─┴─　周期n─┘t

　　图3　n周期即期汇率二项式分支图

　　Cun＝max{0，unS－X}　　　　　j＝n

　　q　　　Cuu

　　q　　　Cu　　　　　　　　　Cudn-1＝max{0，udn-1S－X}　　 j＝n-1 1-q C　　　　　　　　     q　　　Cud　　 Cujdn-j＝max{0，ujdn-jS－X}　 j

　　1-q　　 Cd　　　　　　　　　Cudn-1＝max{0，udn-1S－X}　　 j＝1

　　1-q　　 Cdd

　　Cdn＝max{0，dnS－X}　　　　　j＝0

　　0└─周期1 ─┴─周期2 ┴　周期n─┘t

　　设a是满足uadn-aS＞X的最小非负整数，

　　即a是大于（ln（X/S））/（ln（u/d））最小非负整数。

　　当a＞n，C＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（18）

　　当a＜n，有如下两种情形：

　　对j＜a，max{0，ujdn-jS－X}＝0

　　对j＞a，max{0，ujdn-jS－X}＝ujdn-jS－X

      n　 n!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　C＝∑ ───── qj(1-q)n-j×(ujdn-jS－X)e-rt　　　　　　　　(19)
　　　 j＝a j!(n-j)!　　　　　　　　

　　令　q'＝ue-（r-f）t/n×q　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （20）

      q'e(r-f)t/n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　得　q＝──────　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(21)
　　　　　　　　u　

　　代入上式得到

              n　　 n!　　　　　　　　　　　　 n　　 n!　　　　　　
　　C＝Se-ft∑ ─────q'j(1-q')n-j－Xe-rt∑ ────qj(1-q)n-j　(22)
　　　　　　 j＝a j!(n-j)!　　　　　　　　　　j＝a j!(n-j)!　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　n　　 n!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　B'(a,n,q')＝∑ ───── q'j(1-q')n-j　　　　　　　　　　　 (23)
　　　　　　　 j＝a j!(n-j)!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　n　　 n!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　B(a,n,q)＝∑─────qj(1-q)n-j　　　　　　　　　　　　　　 (24)
　　　　　　 j＝a j!(n-j)!　

　　得到：

　　C＝Se-ftB'（a，n，q'）－Xe-rtB（a，n，q）　　　　　　　　　　　　　　（25）

　　B（a，n，q）的涵义是什么呢？实际上B（a，n，q）是经过n次伯努利试验后，上升u倍事件落在a和n之间的累积的概率，q是一次伯努利试验后，价格上升u倍事件的概率。

　　（25）式就是一般期权定价公式，有较大的适用范围。当我们把时间轴做无穷细分（无穷周期，即n→∞）时，若将来即期汇率服从一定分布（例如即期汇价的对数变化遵循Wiener-Levy过程），则欧式Call期权价格二项式定价公式的极限形式就是Black─Scholes的外币期权定价式。因篇幅所限，证明从略。

　　参考文献：

　　1.　Black.F，and M.Scholes，The Pricing of Options and Corporate Liabilities，Journal of Political Economy，81（1973）

　　2.　Cox，John.Stephen A.Ross，and Mark Rubinstein，Option Pricing：ASimplified Approach，Journal of Financial Economics，7（1979）

　　3.　Garman，Mark B.， and Steven W. Kohlhagen，Foreign Currency OptionValues，Journal of International Money and Finance，2（1983）

　　4.　Geske，R.，and H. Johnson，The American Put Value Analytically，Journal of Finance，39（1984）

　　5.　张陶伟，国际金融原理，1995年，清华大学出版社。　　　

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